Minkowski 问号函数不可微点集的分形分析

本文研究 Minkowski 问号函数 $Q$ 的若干分形几何性质。我们证明单位区间可表示为三个集合 $\Lambda_{0}:=\{x:Q'(x)=0\}$、$\Lambda_{\infty}:=\{x:Q'(x)=\infty\}$ 与 $\Lambda_{\sim}:=\{x:Q'(x)$ 不存在且 $Q'(x)\neq\infty\}$ 的并。主要结果是这些集合的 Hausdorff 维数满足如下关系:$\dim_{H}(\nu_{F})<\dim_{H}(\Lambda_{\sim})=\dim_{H}(\Lambda_{\infty})=\dim_{H}(\mathcal{L}(h_{\mathrm{top}}))<\dim_{H}(\Lambda_{0})=1$。此处 $\mathcal{L}(h_{\mathrm{top}})$ 指 Farey 映射 $F$ 在拓扑熵 $h_{\mathrm{top}}=\log 2$ 处的 Stern-Brocot 多重分形分解的水平集,$\dim_{H}(\nu_{F})$ 表示与 $F$ 相关动力系统的最大熵测度的 Hausdorff 维数。证明部分依赖于 Stern-Brocot 区间的多重分形形式体系,并给出该形式体系的非平凡应用。