关于 $\alpha$-Farey-Minkowski 函数的导数

在本文中，我们研究了 $\alpha$-Farey-Minkowski 函数族 $\theta_\alpha$，针对单位区间的任意可数划分 $\alpha$，其原子仅在原点处积聚，这些函数是各 $\alpha$-Farey 系统与帐篷映射之间的共轭同胚。我们首先证明每个函数 $\theta_\alpha$ 关于 Lebesgue 测度是奇异的，然后证明单位区间可以写为以下三个集合的不交并：$\Theta_0:={x\in\U:\theta_\alpha'(x)=0}$, $\Theta_\infty:={x\in\U:\theta_\alpha'(x)=\infty}$ 和 $\Theta_\sim:=\U\setminus(\Theta_0\cup\Theta_\infty)$。主要结果是 [$\dim_{\mathrm{H}}(\Theta_\infty)=\dim_{\mathrm{H}}(\Theta_\sim)=\sigma_\alpha(\log2)<\dim_{\mathrm{H}}(\Theta_0)=1$,] 其中 $\sigma_\alpha(\log2)$ 是水平集 ${x\in \U:\Lambda(F_\alpha, x)=s}$ 的 Hausdorff 维数，这里 $\Lambda(F_\alpha, x)$ 是映射 $F_\alpha$ 在点 $x$ 处的 Lyapunov 指数。该定理的证明采用了 $\alpha$-Farey 系统的多重分形形式体系。