关于实数的小唯一展开基

给定正实数 $x$，我们考虑最小的基 $q_s(x)\in(1,2)$，使得存在唯一的由0和1组成的序列 $(d_i)$ 满足 $$x=\sum_{i=1}^\infty\frac{d_i}{(q_s(x))^i}.$$ 本文对满足 $q_s(x)\le q_{KL}$ 的那些 $x$ 给出了完整刻画，其中 $q_{KL}$ 是 Komornik-Loreti 常数。此外，我们证明 $q_s(x)=q_{KL}$ 当且仅当 $$x\in\left\{1, ~\frac{q_{KL}}{q_{KL}^2-1},~ \frac{1}{q_{KL}^2-1}, ~\frac{1}{q_{KL}(q_{KL}^2-1)}\right\}.$$ 最后，我们确定了当 $q_s(x)<q_{KL}$ 时 $q_s(x)$ 的显式值。