唯一数与 Thue-Morse 序列的一个化身

唯一数 (Univoque numbers) 是实数 $\lambda > 1$，使得数字 1 在底 $\lambda$ 下具有唯一的展开式，即唯一的展开式 $1 = \sum_{j \geq 0} a_j \lambda^{-(j+1)}$，其中对于每个 $j \geq 0$，有 $a_j \in \{0, 1, ..., \lceil \lambda \rceil -1\}$。Komornik 和 Loreti 在 2002 年研究了该定义的一个变体，以及称为{\em 容许序列}的序列。我们展示了第一作者 1983 年的一项研究如何同时给出了 Komornik 和 Loreti 关于集合 $\{0, 1, >..., b\}$ 上最小容许序列的结果，以及 de Vries 和 Komornik (2007) 关于属于区间 $(b, b+1)$ 的最小唯一数的结果，其中 $b$ 为任意正整数。我们还证明了这最后一个数是超越数。Thue-Morse 序列的一个化身，即形态 $3 \to 31$，$2 \to 30$，$1 \to 03$，$0 \to 02$ 的以 3 开头的不动点，以“通用”方式出现。