素数幂的 Korselt 有理基

设 $N$ 为正整数，$\mathbb{A}$ 为 $\mathbb{Q}$ 的子集，$\alpha=\dfrac{\alpha_{1}}{\alpha_{2}}\in \mathbb{A}\setminus \{0,N\}$。若对 $N$ 的每个素因子 $p$ 均有 $\alpha_{2}p-\alpha_{1}$ 整除 $\alpha_{2}N-\alpha_{1}$，则称 $N$ 为 $\alpha$-Korselt 数（等价地称 $\alpha$ 为 $N$-Korselt 基）。所谓 $N$ 在 $\mathbb{A}$ 上的 Korselt 集，是指所有使得 $N$ 为 $\alpha$-Korselt 数的 $\alpha\in \mathbb{A}\setminus \{0,N\}$ 组成的集合 $\mathbb{A}$-$\mathcal{KS}(N)$。本文对给定的素数 $q$ 与整数 $l\in \mathbb{N}\setminus \{0,1\}$，显式确定了集合 $\mathbb{Q}$-$\mathcal{KS}(q^{l})$，并建立了 $\mathbb{Q}$ 中 $q^{l}$-Korselt 基与 $\mathbb{Z}$ 中相应基的某些联系。研究了 $\mathbb{A}=\mathbb{Q}\cap[-1,1[$ 的情形，证明 $(\mathbb{Q}\cap[-1,1[)$-$\mathcal{KS}(q^{l})$ 为空当且仅当 $l=2$。此外，我们证明每个非零有理数 $\alpha$ 都是无穷多个形如 $N=q^{l}$（$q$ 为素数且 $l\in\mathbb{N}$）的数的 $N$-Korselt 基。