无理数集合中Lagrange值为3的广义Hausdorff维数

我们研究了$k^{-1}(3)$中一些自然子集的广义Hausdorff维数，其中$k^{-1}(3)$由满足$|x-\frac{p}{q}|<\frac{1}{(3+\varepsilon)q^2}$对任意$\varepsilon<0$有无限多个有理数解$\frac{p}{q}$而对任意$\varepsilon>0$仅有有限多个有理数解的实数构成。众所周知，$k^{-1}(3)$是一个不可数且Hausdorff维数为零的集合。给定任意维数函数$h$，我们确定广义Hausdorff维数$\mathcal{H}^h(k^{-1}(3))$从无穷降至零的确切“临界点”。特别地，我们证明该测度要么始终为零，要么不可$\sigma$有限，从而可以对$k^{-1}(3)$进行拓扑分类。此外，我们证明$k^{-1}(3)$中可达元素子集的广义Hausdorff维数与$k^{-1}(3)$相同，但不可达元素子集的广义Hausdorff维数则“严格更小”。