刚性 1-度包含无限反.antichain

Odifreddi 询问是否存在每个非不可约的许多一度都包含一个一一度的无限反.antichain。已知在可枚举许多一度 (Degtev) 以及最近在 admitting $\Delta^0_2$ 代表的许多一度 (Batyrshin) 上都有积极答案。本文提出了这些现象背后的刚性原理。若集合 $A\subseteq\omega$ 为 \emph{$m$-刚性}, 则其许多一度 $\deg_m(A)$ 包含一个 1-度的无限反.antichain。证明采用统一的复制构造法:对每个可计算参数 $S$ 定义 $B_S\equiv_m A$，使得任何单射归约 $B_S\le_1 B_T$ 都诱导 $A$ 的一个 $m$-autoreduction，从而迫使 $S\subseteq^{*}T$。选取可计算集合的近包含无限反.antichain，即可在 $\deg_m(A)$ 中得到所需的无限 1-反.antichain。作为应用，Jockusch 的刚性定理表明每个 1-通用集都是 $m$-刚性，从而给出一个稠密的正实例族。此外，$m$-刚性在 Lebesgue 测度为 1 时也成立（事实上，每个 Martin-Löf 随机实数都是 $m$-刚性）。因此，Odifreddi 的问题 5 在概率为 1 时有积极答案；若存在反例，则被限制在零测度集合中（且由通用性也被限制在稠密集合中）。