遗传刚性与分离及密度（纪念 I.G. Rosenberg 教授）

我们继续研究 Couceiro、Haddad、Pouzet 与 Schölzel [1] 中开启的遗传刚性关系系统。我们观察到，在具有 $m$ 个元素的集合 $V$ 上，存在一个由 $n$ 个竞赛图构成的遗传刚性集 $\mathcal R$ 当且仅当 $m(m-1)\leq 2^n$。我们提问当竞赛图被线性序替代时同样的不等式是否成立。该问题在线性序的分离方面有等价的表述。令 $h_{\rm Lin}(m)$ 为最小基数 $n$，使得在 $m$ 元集合 $V$ 上存在 $n$ 个线性序的族 $\mathcal R$，其中 $V$ 的任意两个不同元素的有序对都被 $\mathcal R$ 的某个成员分离，则 $\lceil \log_2 (m(m-1))\rceil\leq h_{\rm Lin}(m)$，且在 $m\leq 7$ 时取等号。我们问该等式是否对每个 $m$ 都成立。我们证明 $h_{\rm Lin}(m+1)\leq h_{\rm Lin}(m)+1$。若 $V$ 是无限的，我们证明对 $m\leq 2^{\aleph_0}$ 有 $h_{\rm Lin}(m)= \aleph_0$。更一般地，我们证明两个等式 $h_{\rm Lin}(m)= log_2 (m)= d({\rm Lin}(V))$ 成立，其中 $\log_2 (m)$ 是满足 $m\leq 2^\mu$ 的最小基数 $\mu$，$d({\rm Lin}(V))$ 是 $V$ 上线性序集合 ${\rm Lin}(V)$ 的拓扑密度（视作幂集 $\mathcal{P}(V\times V)$ 装备积拓扑的子集）。这些等式由广义连续统假设推出，但我们不知在无任何集合论假设下它们是否成立。