Ulam 序列的算术复杂性与不变量性

我们分析了关于Ulam序列的逻辑复杂性与不变量性，特别关注Hinman、Kuca、Schlesinger和Sheydvasser为族函数 $U(1,n)$ 所引入的刚性现象。对于每一对互素整数 $a<b$，我们将关联的Ulam序列 $U(a,b)$ 视作自然数 $\mathbb{N}$ 的递归子集，并考察形式为 $(\mathbb{N},+,\mathrm{U}_{a,b})$ 的扩张。我们的第一个主要结果是对Ulam序列以及刚性猜想中出现的“带周期掩码的区间”模式进行一致编码，这些编码可转化为一阶算术表达式。基于此，我们证明了对于 $U(a,b)$ 的强刚性、规律性（间隙最终周期性）和密度语句，它们全部属于算术可判定的，位于算术层级的低层次（例如 $\Sigma^0_2$ 或 $\Pi^0_3$）。据此，这些语句在自然数相同的ZFC的传递模型之间是不变量的：它们的真值不能被强制改变，独立于连续假设与大基数公理。我们还从模型论角度研究形式为 $(\mathbb{N},+,\mathrm{U}_{a,b})$ 的扩张，表明组合刚性蕴含了 tameness 属性（NIP、dp-最小性、对乘法的不可解释性）。