单位距离图中的刚性诱导标度律：稠密子结构的代数坍缩

我们重新审视 Erdős 于1946年提出的经典单位距离问题。尽管 Spencer、Szemerédi 和 Trotter（1984年）建立的 $O(n^{4/3})$ 上界对伪圆系统是紧致的，但它未能解释欧几里得度量固有的代数刚性。通过将结构刚性分解与 Cayley-Menger 簇理论相结合，我们证明超过临界密度的单位距离图必然包含刚性二部子图。我们证明了“平坦性引理”，并通过消元理想的符号计算提供支持，表明在 $\mathbb{R}^2$ 中单位距离 $K_{3,3}$（进而扩展至 $K_{4,4}$）的构型簇是代数奇异的，并坍缩至更低维的轨迹。这种降维排除了维持 $n^{4/3}$ 标度所需的无定形高关联结构的存在，从而有效改进了非退化欧几里得构型的上界。