整数余数环上反向鹈鹕距离定理

我们建立了关于整数余数环上二次距离图像的理想论刚性原理。具体而言，我们证明了在 $\mathbb{Z}_n^d$ 中距离集合的近极限坍缩会迫使其上的消解子模的强代数结构，这些结构来源于 $n$ 的算术性质。作为结果，我们获得了关于模数为合成数时的鹈鹕距离问题的第一个反向定理。我们展示，如果集合 $E \subset \mathbb{Z}_n^d$ 的大小为 $|E| \asymp n^{(d+1)/2}$ 仅确定 $O(n)$ 个不同的平方距离，那么 $E$ 必须位于一个消解子模的陈集上，而该陈集上的距离形式是代数上退化的。该证明引入了内在于 $\mathbb{Z}_n$ 的除数深度分解，以及一种将素数模上局部退化传递到全局理想论约束的提升机制。这yielded a complete classification of near-extremizers for the Falconer distance problem in the ring setting, revealing a rigidity phenomenon with no analogue over fields.