有限域上的扩张定理及其与 Erdős-Falconer 距离问题的联系

本文的第一个目的是为抛物面和球面提供新的有限域扩张定理。利用零球面在某些特定维度下不寻常的良好傅里叶变换（该变换由 Iosevich、Lee、Shen 以及第一、第二作者于 2018 年的工作最近发现），我们给出了维度 $d=4k+3$ 且 $q\equiv 3\mod 4$ 时抛物面的新 $L^2\to L^r$ 扩张估计，该估计显著改进了第一作者近期得到的指数。对于球面情形，我们引入一种利用\textit{第一结合概型图}来分析能量集的方法，并由此获得了奇数维本原半径球面的新 $L^p\to L^4$ 扩张定理，打破了十余年来一直成立的 Stein-Tomas 关于 $L^p\to L^4$ 的结果。最重要的是，由球面的结果可知，奇数维下球面与抛物面之间存在不同的扩张现象，即本原半径球面的 $L^p\to L^4$ 估计远强于抛物面。基于新估计，我们还将澄清关于球面有限域扩张问题的猜想。这给出了球面有限域扩张定理相当完整的描述。第二个目的是证明与抛物面相关的限制猜想和有限域上 Erdős-Falconer 距离猜想之间存在联系。最后，我们证明当研究两个集合之间的距离时——一个集合位于簇（抛物面或球面）上，另一个集合在 $\mathbb{F}_q^d$ 中任意——Erdős-Falconer 距离猜想在奇数维空间中成立。