极小刚性图的嵌入个数

某些欧氏空间中的刚性框架是嵌入图，对给定边长具有唯一的局部实现（模欧氏运动），尽管全局上可能有多个。我们研究具有 $n$ 个顶点的极小刚性图的相异平面嵌入个数。我们证明，模平面刚性运动，该个数至多为 ${{2n-4}\choose {n-2}} \approx 4^n$。我们还给出了实现 $2^n$、$2.21^n$ 和 $2.88^n$ 阶下界的若干族。对于上界，我们使用复代数几何的技巧，基于复数 $C$ 上的（射影）Cayley-Menger 簇 $CM^{2,n}(C)\subset P_{{{n}\choose {2}}-1}(C)$。在此语境下，点构型由所有点对间距离平方给出的坐标表示。用 $2n-4$ 个超平面截该簇得到至多 $deg(CM^{2,n})$ 个零维分支，且该次数被发现为 $D^{2,n}={1/2}{{2n-4}\choose {n-2}}$。下界与通过 Henneberg 序列对极小刚性图的归纳构造相关。同样的方法适用于更高维。特别地，我们证明它对单纯多面体 1-骨架在空间嵌入（具一般边长）的个数给出上界 $2 D^{3,n}= {\frac{2^{n-3}}{n-2}}{{n-6}\choose{n-3}}$（模刚性运动）。