反链上的投影不等式

集合 $A \subseteq {\mathbb{R}}^n$ 被称为反链（弱反链），若其不包含两个不同元素 ${\mathbf x}=(x_1,\ldots, x_n)$ 与 ${\mathbf y}=(y_1,\ldots, y_n)$ 满足对所有 $i\in \{1,\ldots,n\}$ 有 $x_i\le y_i$（相应 $x_i < y_i$）。我们证明 $n$ 维单位立方体 $[0,1]^n$ 中的弱反链 $A$ 的豪斯多夫维数至多为 $n-1$，且其 $(n-1)$ 维豪斯多夫测度至多为 $n$，这些均为最佳可能界。该结果作为如下可能具有独立意义的{\it 投影不等式}的推论导出：单位 $n$ 立方体中（弱）反链 $A\subseteq [0, 1]^n$ 的 $(n-1)$ 维豪斯多夫测度不超过 $A$ 到含原点的单位 $n$ 立方体各面上 $n$ 个正交投影的 $(n-1)$ 维豪斯多夫测度之和。为证明此结果，我们建立了适用于 ${\mathbb Z}^n$ 中弱反链的投影不等式离散变体，并将其与几何测度论中的思想相结合。