反链的投影

若$\mathbb{Z}^n$的子集$A$不包含满足对所有$i$有$x_i<y_i$的两个元素$x$和$y$，则称其为弱反链。Engel、Mitsis、Pelekis和Reiher证明了对于任意弱反链$A$，其$(n-1)$维投影的大小之和至少与其大小$|A|$一样大。他们问这两个量之间差距的最小可能值（关于$|A|$）是多少。我们通过给出对每个可能的$|A|$值达到此最小值的显式弱反链来回答该问题。特别地，我们证明了形如$A_N=\{x\in\mathbb{Z}^n: 对所有j有0\leq x_j\leq N-1且对某个i有x_i=0\}$的集合在大小为$|A_N|$的弱反链中使差距最小。