无 AC 下的极大独立集、链/反链原理变体及共尾子集

在无选择公理（AC）的集合论中，我们观察到下列命题与弱选择原理的新关系。1. 每个局部有限连通图都有一个极大独立集。2. 每个局部可数连通图都有一个极大独立集。3. 若在偏序集中所有反链均有限且所有链的大小为 $\aleph_{\alpha}$，则当 $\aleph_{\alpha}$ 为正则时该集合的大小为 $\aleph_{\alpha}$。4. 每个偏序集都有一个共尾良基子集。5. 若 $G=(V_{G},E_{G})$ 是一个连通局部有限弦图，则存在 $V_{G}$ 的一个序 $<$ 使得对每个 $v\in V_{G}$，$\{w < v : \{w,v\} \in E_{G}\}$ 是一个团。