最小化 2-元集与 3-元集极大正则反链的正则度

设 $n\geqslant 3$ 为自然数。我们研究寻找最小 $r$ 的问题，使得存在 $[n]=\{1,2,...,n\}$ 的 2-元子集和 3-元子集族 $\mathcal{A}$ 满足以下性质：(1) $\mathcal{A}$ 是反链，即 $\mathcal A$ 中没有任何成员是 $\mathcal A$ 中其他成员的子集；(2) $\mathcal A$ 是极大的，即对于每个 $X\in 2^{[n]}\setminus\mathcal A$，存在 $A\in\mathcal A$ 使得 $X\subseteq A$ 或 $A\subseteq X$；(3) $\mathcal A$ 是 $r$-正则的，即每个点 $x\in[n]$ 恰好包含在 $\mathcal A$ 的 $r$ 个成员中。我们证明了 $r$ 的下界，并构造了具有小正则度的正则极大反链。