关于每个层上出现次数为 $r$ 的反链的 Erd\H{o}s--Trotter 问题

固定一个整数 $r\ge2$。对于每个 $n$，我们考虑满足以下性质的族 $\mathcal{F}\subseteq 2^{[n]}$：它形成一个反链，且对于每一个 $t$，若存在 $A\in\mathcal{F}$ 且 $|A|=t$，则在 $\mathcal{F}$ 中至少存在 $r$ 个大小为 $t$ 的成员。Erd\H{o}s 和 Trotter 提出的问题断言：对于固定的每个 $r$，存在阈值 $n_0(r)$，使得当 $n>n_0(r)$ 时，可以在此类族中实现 $n-3$ 个不同的集合大小，并对 $n_0(r)$ 进行估计。我们计算得 $n_0(2)=3$ 和 $n_0(3)=8$。对于所有 $r\ge4$，我们证明了匹配的线性上界（含下界），即 $$2r+2 \le n_0(r) \le 2r+2\log_2 r + O(\log_2\log_2 r).$$ 特别地，$n_0(r) = 2r + o(r)$。