热测度的豪斯多夫维数

我们从几何测度论的角度考察 $\mathbb{R}^{n+1} = \mathbb{R}^n\times\mathbb{R}$（空间 $\times$ 时间）中一般区域上的热测度 $\omega$。一方面，我们直接证明 Taylor 与 Watson（1985）定理的一个推论，即 $\omega$ 的抛物型下豪斯多夫维数至少为 $n$ 且 $\omega \ll \mathcal{H}^n$。另一方面，我们证明 $\omega$ 的抛物型上豪斯多夫维数至多为 $n+2-\beta_n$，其中 $\beta_n > 0$ 仅依赖于 $n$。调和测度的类似界最早由 Nevanlinna（1934）和 Bourgain（1987）给出。直观地说，我们表明为使从立方体外起始的布朗运动不太可能从靠近立方体中心处离开区域，立方体内障碍的密度必须依据环境维数来选取。在证明过程中，我们给出 Bourgain 择一性的热测度类比：对任意常数 $0 < \epsilon \ll_n \delta < 1/2$ 与闭集 $E \subset \mathbb{R}^{n+1}$，要么 (i) 对每个位于 $F$ 中的极点，$E \cap Q$ 在 $Q \setminus E$ 中具有相对大的热测度，要么 (ii) 对每个 $n < \rho \leq n+2$，$E \cap Q_*$ 具有相对小的 $\rho$ 维抛物型豪斯多夫容度，其中 $Q$ 为立方体，$F$ 为 $Q$ 的子立方体并与顶时间面的中心对齐，$Q_*$ 为 $Q$ 的子立方体且靠近 $F$ 但在时间上与其向后分离：$$Q = (-1/2,1/2)^n \times (-1,0), \quad F = [-1/2+\delta,1/2-\delta]^n\times[-\epsilon^2,0),$$ $$\text{且}\quad Q_* = [-1/2+\delta,1/2-\delta]^n\times[-3\epsilon^2,-2\epsilon^2].$$ 此外，我们给出热测度的强马尔可夫性质的一个版本。