有限域上向量空间中的不同散布

在这篇短文中，我们研究点集 $\mathcal{P} \subseteq \mathbb{F}_q^d$ 中散布的分布，其类似于欧几里得空间中的角。更精确地，我们证明对于任意 $\varepsilon > 0$，若 $|\mathcal{P}| \geq (1+\varepsilon) q^{\lceil d/2 \rceil}$，则 $\mathcal{P}$ 生成所有散布的恒定正比例。我们表明这些结果是紧的，在如下意义下：存在大小为 $|\mathcal{P}| = q^{\lceil d/2 \rceil}$ 的集合 $\mathcal{P} \subset \mathbb{F}_q^d$ 仅确定至多一个散布。