仿射向量空间划分与二次曲面的展布

仿射展布（affine spread）是 $\mathrm{AG}(n, q)$ 中具有相同维数的子空间集合，它们划分了 $\mathrm{AG}(n, q)$ 的点。等价地，{\em 仿射展布} 是 $\mathrm{PG}(n, q)$ 中具有相同维数的射影子空间集合，它们划分了 $\mathrm{PG}(n, q) \setminus H_{\infty}$ 的点；此处 $H_{\infty}$ 表示 $\mathrm{AG}(n, q)$ 射影闭包的无穷远超平面。设 $\mathcal{Q}$ 为 $H_\infty$ 中的一个非退化二次曲面，$\Pi$ 为 $\mathcal{Q}$ 的一个生成元，其中 $\Pi$ 是一个 $t$ 维射影子空间。如果一个由 $\mathrm{PG}(n, q)$ 中 $(t+1)$ 维射影子空间组成的仿射展布 $\mathcal{P}$ 满足以下条件：$\mathcal{P}$ 的每个成员与 $H_\infty$ 相交于 $\mathcal{Q}$ 的一个不同于 $\Pi$ 且与 $\Pi$ 不相交的生成元；$\mathcal{P}$ 的元素至多有一个公共点；若 $S, T \in \mathcal{P}$ 且 $|S \cap T| = 1$，则 $\langle S, T \rangle \cap \mathcal{Q}$ 是 $\mathcal{Q}$ 中的一个双曲二次曲面，那么该展布被称为双曲型、抛物型或椭圆型（取决于 $\mathcal{Q}$ 是双曲型、抛物型还是椭圆型）。本文证明了 $\mathrm{PG}(n, q)$ 的双曲型、抛物型或椭圆型仿射展布分别等价于 $\mathcal{Q}^+(n+1, q)$、$\mathcal{Q}(n+1, q)$ 或 $\mathcal{Q}^-(n+1, q)$ 的展布。