五维空间中距离的分布及其相关问题

本文研究具有笛卡尔积结构集合的五维 Erdős-Falconer 距离问题。更确切地说,我们证明对于 $A\subset \mathbb{F}_p$ 且 $|A|\gg p^{\frac{13}{22}}$,有 $\Delta(A^5)=\mathbb{F}_p$。当 $|A-A|\sim |A|$ 时,我们得到如下更强的结论:若 $|A|\gg p^{\frac{13}{22}}$,则 $(A-A)^2+A^2+A^2+A^2+A^2=\mathbb{F}_p$;若 $|A|\gg p^{\frac{4}{7}}$,则 $(A-A)^2+(A-A)^2+A^2+A^2+A^2+A^2=\mathbb{F}_p$。我们还证明若 $p^{4/7}\ll |A-A|=K|A|\le p^{5/8}$,则 $$|A^2+A^2|\gg \min \left\lbrace \frac{p}{K^4}, \frac{|A|^{8/3}}{K^{7/3}p^{2/3}}\right\rbrace.$$ 由此,当 $|A|\gg p^{5/8}$ 且 $K\sim 1$ 时,有 $|A^2+A^2|\gg p$,其中 $A^2=\{x^2\colon x\in A\}$。