关于决定较少不同距离的笛卡尔积

每个点集 $\mathcal{P}$ 决定 $\Omega(|\mathcal{P}| / \log |\mathcal{P}|)$ 个距离。该结论的一个近似版本最初由 Erd\H{o}s 于 1946 年猜想，并在近期由 Guth 和 Katz 证明。我们证明，当接近此下界时，一个形如 $A \times A$ 的点集 $\mathcal{P}$ 必须满足 $|A - A| \ll |A|^{2-\frac{2}{7}} \log^{\frac{1}{7}} |A|$。这改进了 Hanson 和 Roche-Newton 的近期结果。