平面曲线间的相切问题及其在L形 grounded 图形着色中的应用

我们证明，对于任意一组 $n$ 条红色和蓝色平面曲线，若其中每对曲线至多相交一次且同色曲线互不相交，则它们之间的相切数为 $O(n)$。若每对曲线可相交多次，则已知相切数可能超线性。然而，我们表明，若以两两不相交的连接曲线替代相切，且这些曲线均与红蓝曲线排布的某个面相交，则线性上界仍然成立。后一结果可应用于以下由 Keller、Rok 和 Smorodinsky [Disc. Comput. Geom. (2020)] 在\emph{串图}的\emph{无冲突着色}背景下研究的问题：对任意由 $n$ 个\emph{接地 L 形（grounded L-shapes）}组成的族，始终足以对其成员着色的颜色的最小数量是多少，使得被任一 L 形相交的 L 形中存在一个具有唯一颜色的？他们证明了 $O(\log^3 n)$ 种颜色始终足够，且 $\Omega(\log n)$ 种颜色有时是必要的。我们将其上界改进为 $O(\log^2 n)$。