Heisenberg 群中准线性方程的剩余衰减及其应用

我们研究 Heisenberg 群中准线性亚鞍点 $p$-Laplace 类型方程的正则性结果。我们证明了关于常系数齐次方程的一些出人意料的剩余衰减估计。尽管剩余衰减估计在欧几里得空间中为人所熟知，源于 Uraltseva 和 Uhlenbeck 的著名工作，但在 Heisenberg 群的语境下直到现在才不为人知，这种缺乏剩余衰减估计常被归因于水平向量场的非交换性。我们的结果表明，尽管存在这种非交换性特征，类似于欧几里得空间情形的剩余衰减估计仍然成立。为了说明剩余衰减估计的有效性，我们证明了两个结果。第一个是将已知结果扩展到完整范围 $1< p < \infty$ 的 Hölder 连续性结果。第二个是水平梯度解的尖锐边缘连续性结果。更准确地说，我们证明如果 $u \in HW_{\text{loc}}^{1,p}$ 满足 $$\operatorname{div}_{\mathbb{H}} \left( a(x) \lvert \mathfrak X u \rvert^{p-2} \mathfrak X u \right) \in L^{(Q,1)}_{\text{loc}}$$ 在 $\mathbb{H}_{n}$ 的某个域中，其中 $\mathbb{H}_{n}$ 是均匀维数为 $Q=2n+2$ 的 Heisenberg 群，对于 $1 < p < \infty$，其中 $a$ 为均匀正、有界且 Dini 连续的标量函数，则 $\mathfrak X u$ 是连续的。这一结果推广了 Stein 的经典结果以及 Kuusi-Mingione 对于欧几里得空间中线性和准线性方程的工作，以及 Folland-Stein 对于 Heisenberg 群中线性情形的工作。即使当 $a$ 为常数或方程为齐次时，该结果也仍然是全新的。