加权 Hardy 不等式与对称扩散算子的自伴性

设 $\Omega$ 为 $\Ri^d$ 中具有边界 $\Gamma$ 的区域，$d_\Gamma$ 为到边界的欧氏距离，$H=-\divv(C\,\nabla)$ 为椭圆算子，其中 $C=(\,c_{kl}\,)>0$ 且 $c_{kl}=c_{lk}$ 为实的、有界的 Lipschitz 函数。我们假定在渐近分析意义下当 $d_\Gamma\to0$ 时 $C\sim c\,d_\Gamma^{\,\delta}$，其中 $c$ 为严格正的有界 Lipschitz 函数且 $\delta\geq0$。我们还假定存在 $r>0$ 与 $b_{\delta,r}>0$，使得加权 Hardy 不等式 $$\int_{\Gamma_{\!\!r}} d_\Gamma^{\,\delta}\,|\nabla \psi|^2\geq b_{\delta,r}^{\,2}\int_{\Gamma_{\!\!r}} d_\Gamma^{\,\delta-2}\,| \psi|^2$$ 对所有 $\psi\in C_c^\infty(\Gamma_{\!\!r})$ 成立，其中 $\Gamma_{\!\!r}=\{x\in\Omega: d_\Gamma(x)<r\}$。随后我们证明，条件 $(2-\delta)/2<b_\delta$ 对于 $H$ 在 $C_c^\infty(\Omega)$ 上的本质自伴性充分，其中 $b_\delta$ 为 Hardy 不等式中所有可能 $b_{\delta,r}$ 关于 $r$ 的上确界。该结果推广了所有已知的光滑边界区域结论，并对一大类具有粗糙（例如分形）边界的区域给出了自伴性信息。