通过球面向量场导出 Baouendi-Grushin 算子的 Hardy 与 Rellich 恒等式及不等式
偏微分方程分析
2025-03-21 v2
摘要
对于 Baouendi-Grushin 向量场，我们证明了具有最优常数的 Hardy、Hardy-Rellich 和 Rellich 恒等式及不等式。我们的显式余项显著优于文献中的结果。我们的论证建立在涉及 Bessel 对的抽象 Hardy-Rellich 恒等式之上，并结合了 Garofalo-Shen [Ann. Inst. Fourier (1994)] 发展的球面调和函数的使用。此外，秉承 Bez-Machihara-Ozawa [Math. Z (2023)] 的精神，我们构造了对应于 Baouendi-Grushin 向量场的球面向量场，并通过将 Baouendi-Grushin 算子与其径向和球向分量进行比较，证明了可进而确立最优 Rellich 恒等式的恒等式。除其他结果外，我们在 Sobolev 空间的某些子空间中给出了具有增强 Hardy 常数的 Hardy 恒等式与不等式的替代证明。此外，我们计算了涉及 Baouendi-Grushin 算子 -范数及其径向分子的亏值，并带有显式余项，从而实现了 Baouendi-Grushin 算子与其径向分量的比较。作为主要结果的推论，还导出了新的二阶 Heisenberg-Pauli-Weyl 不确定性原理与氢不确定性原理。此外，我们还导出了对应于 Baouendi-Grushin 向量场的某些对称化原理。
引用
@article{arxiv.2404.05510,
title = {Hardy and Rellich identities and inequalities for Baouendi-Grushin operators via spherical vector fields},
author = {Debdip Ganguly and K. Jotsaroop and Prasun Roychowdhury},
journal= {arXiv preprint arXiv:2404.05510},
year = {2025}
}
备注
This is the updated version of the paper, which has a slightly different title and a revised introduction. 41 pages