关于Gagliardo-Nirenberg不等式的一些非线性推广及其在非线性特征值问题中的应用

我们推导出不等式 [\int_{\r} |f^{'}(x)|^ph(f(x))dx \le (\sqrt{p-1})^p\int_{\r}(\sqrt{|f^{"}(x){\cal T}_h(f(x))|})^ph(f(x))dx,] 其中 $f$ 局部属于 Sobolev 空间 $W^{2,1}$ 且 $f^{'}$ 具有有界支集。这里 $h(...)$ 是一个给定函数，${\cal T}_h(...)$ 是其给定变换，且与 $p$ 无关。当 $h\equiv 1$ 时，我们重新得到熟知的不等式：(\int_{\r} |f^{'}(x)|^pdx \le (\sqrt{p-1})^p \int_{\r}(\sqrt{|f^{"}(x)f(x)|})^pdx.) 我们的不等式在形式上类似于经典的二阶 Opial 不等式。它们也推广了 Mazya 用于获得二阶等周不等式和容量估计的某类不等式。我们将其应用于获得非线性特征值问题的新先验估计。