一维 Gagliardo-Nirenberg-Sobolev 不等式：关于对偶性与流的注记
偏微分方程分析
2017-05-17 v2
摘要
本文致力于研究一维插值型 Gagliardo-Nirenberg-Sobolev 不等式。我们探讨了各种对偶性概念、输运理论以及沿某些非线性扩散方程定义的流的泛函单调性如何应用。首先，利用质量输运理论将该不等式简化为一个更简单的对偶变分问题。我们的第二个主要结果是构造了一个与非线性扩散方程相关的 Lyapunov 泛函，从而提供了该不等式的另一种证明。关键观察在于，直线上的不等式等价于球面上的 Sobolev 不等式（至少在维度为整数时），或在一般情况下等价于超球算子的临界插值不等式。泛函沿流的时间导数本身也非常有趣，它解释了非线性椭圆方程刚性估计的机制，并展示了线性化问题的特征值如何进入计算过程。随后讨论了关于各种距离概念的梯度流。在整篇论文中，我们将处理两类不等式，分别对应于 或 的情形。尽管 的情形确实不那么标准，但两种情形下计算中的代数部分非常相似。
引用
@article{arxiv.1309.0987,
title = {One-dimensional Gagliardo-Nirenberg-Sobolev inequalities: Remarks on duality and flows},
author = {Jean Dolbeault and Maria J. Esteban and Ari Laptev and Michael Loss},
journal= {arXiv preprint arXiv:1309.0987},
year = {2017}
}