Gagliardo-Nirenberg-Sobolev 不等式中的稳定性：流、正则性与熵方法

本工作的目的是为一类次临界 Gagliardo-Nirenberg-Sobolev 不等式建立定量且构造性的稳定性结果，该类不等式在（维数大于三时）对数 Sobolev 不等式与标准 Sobolev 不等式之间，或在二维时 Onofri 不等式之间插值。我们发展了一种新策略，其中将快扩散方程的流用作工具：不等式中的稳定性结果等价于流的均衡收敛速率的改进。抛物流的正则性性质使我们能够将初始时间层上改进的熵-熵产生不等式与对渐近时间层相关的合适线性化问题的谱性质联系起来。总之，不等式中的稳定性由一个亏损量度量，该亏损量以强范数（可解释为广义海森堡不确定性原理的 Fisher 信息）控制到最优函数流形的距离。该方法是构造性的，并首次获得了稳定性常数的定量估计，包括 Sobolev 不等式临界情形。为建立估计，我们证明了定量的全局 Harnack 原理，并通过熵方法对大时间渐近进行了详细分析。