Grushin 型退化椭圆算子的分析

我们分析 $L_2({\bf R}^{n}\times{\bf R}^{m})$ 上散度形式的退化二阶椭圆算子 $H$。我们假设系数为实对称,且对某个 $a_1,a_2>0$ 有 $a_1H_\delta\geq H\geq a_2H_\delta$,其中 $$H_\delta=-\nabla_{x_1} c_{\delta_1, \delta'_1}(x_1) \nabla_{x_1}-c_{\delta_2, \delta'_2}(x_1) \nabla_{x_2}^2 .$$ 这里 $x_1\in{\bf R}^n$,$x_2\in{\bf R}^m$,且 $c_{\delta_i, \delta'_i}$ 为正可测函数,满足当 $x\to0$ 时 $c_{\delta_i, \delta'_i}(x)$ 形如 $|x|^{\delta_i}$,当 $x\to\infty$ 时形如 $|x|^{\delta_i'}$,其中 $\delta_1,\delta_1'\in[0,1>$ 且 $\delta_2,\delta_2'\geq0$。我们的主要结果表明次马尔可夫半群 $S_t=e^{-tH}$ 是保守的,且其核 $K_t$ 满足估计 $$0\leq K_t(x ;y)\leq a (|B(x ;t^{1/2})| |B(y ;t^{1/2})|)^{-1/2}$$ 其中 $|B(x ;r)|$ 表示以 $x$ 为中心、半径为 $r$、按与 $H$ 相关联的黎曼距离度量的球 $B(x ;r)$ 的体积。证明依赖于 $H$ 上精细的次椭圆估计、对黎曼距离及相应体积的精确刻画,以及利用有限传播速度的波动方程技巧。我们讨论了这些估计的进一步推论,并给出显式例子说明核不一定严格为正,也不一定连续。