退化椭圆算子Grushin型的等面积不等式

设$n,m\ge 1$，$\alpha\in(0,1)$，$\beta\ge 0$。对于Grushin型算子\n\n$$L=-\nabla_x\!\cdot\!\bigl(|x|^{2\alpha}\nabla_x\bigr)+|x|^{2\beta}\Delta_y \qquad \text{on } \mathbb R^n\times \mathbb R^m,$$\n\n我们在其关联的Grushin空间上证明了等面积不等式。等价地，若\n\n$$Q=\frac{n+m(\beta+1-\alpha)}{1-\alpha},$$\n\n则\n\n$$|\Omega|^{\frac{Q-1}{Q}}\le C\,P(\\Omega)$$\n\n对每一个光滑有界域$\Omega\subset \mathbb R^{n+m}$成立。