关于涉及 Grushin 算子的加权椭圆系统的解的分类

我们在此研究如下加权退化椭圆系统 \begin{align*} -\Delta_{s} u = \Big(1+\|\mathbf{x}\|^{2(s+1)}\Big)^{\frac{\alpha}{2(s+1)}} v^p, \quad -\Delta_{s} v = \Big(1+\|\mathbf{x}\|^{2(s+1)}\Big)^{\frac{\alpha}{2(s+1)}}u^\theta, \quad u,v>0\quad\mbox{in }\; \mathbb{R}^N:=\mathbb{R}^{N_1}\times \mathbb{R}^{N_2}. \end{align*} 其中 $\Delta_{s}=\Delta_{x}+|x|^{2s}\Delta_{y},$ 为 Grushin 算子，$s \geq 0,$ $\alpha \geq 0$ 且 $1<p\leq\theta.$ 此处 $$\|\mathbf{x}\|=\Big(|x|^{2(s+1)}+|y|^2\Big)^{\frac{1}{2(s+1)}}, \;\mbox{and}\;\; \mathbf{x}:=(x, y)\in \mathbb{R}^N:=\mathbb{R}^{N_1}\times \mathbb{R}^{N_2}.$$ 特别地，我们建立了该系统稳定解的一些新的 Liouville 型定理，其恢复并显著改进了已知结果 \cite{cow, Hfh, HU, Fa, DP}。作为推论，我们得到加权 Grushin 方程 \begin{align*} -\Delta_{s} u =\Big(1+\|\mathbf{x}\|^{2(s+1)}\Big)^{\frac{\alpha}{2(s+1)}} u^p,\;\; \quad u>0 \quad \mbox{in }\;\; \mathbb{R}^N. \end{align*} 的非存在性结果。