Berezin 数不等式在算子上的若干推广

本文建立了关于 $2\times 2$ 算子矩阵及其非对角部分的 Berezin 数不等式的一些上界。在其他不等式中，我们证明了若 $T=\left[\begin{array}{cc} 0&X, Y&0 \end{array}\right]$，则 \begin{align*} \textbf{ber}^{r}(T)\leq 2^{r-2}\left(\textbf{ber}(f^{2r}(|X|)+g^{2r}(|Y^*|))+\textbf{ber}(f^{2r}(|Y|)+g^{2r}(|X^*|))\right)\\ -2^{r-2} \inf_{\|(k_{\lambda_{1}},k_{\lambda_{2}})\|=1} \eta(k_{\lambda_{1}},k_{\lambda_{2}}), \end{align*} 其中 $\eta (k_{\lambda_{1}}, k_{\lambda_{2}}) = \left(\left\langle(f^{2r}(|X|)+g^{2r}(|Y^*|)\right)k_{\lambda_{2}},k_{\lambda_{2}}\right\rangle^\frac{1}{2}-\left\langle \left(f^{2r}(|Y|)+g^{2r}(|X^*|)\right)k_{\lambda_{1}},k_{\lambda_{1}}\right\rangle^\frac{1}{2})^2$，$X, Y$ 是 Hilbert 空间 $\mathcal H=\mathcal H(\Omega)$ 上的有界线性算子，$r\geq 1$，且 $f$、$g$ 是 $[0, \infty)$ 上的非负连续函数，满足关系 $f(t)g(t)=t\,(t\in[0, \infty))$。