分数阶泡利算符的 Hardy-Lieb-Thirring 不等式

我们给出了三维空间中算符 $|\sigma\cdot p_A|^{2s} - C_s/|x|^{2s} + V$ 的负本征值之和的下界，其中 $s\in (0, 1]$，涵盖了有趣的物理情形 $s = 1$ 和 $s = 1/2$。这里 $\sigma$ 是泡利矩阵向量，$p_A = p - A$，其中 $p = -i\nabla$ 为三维动量算符，$A$ 为给定的磁矢势，$C_s$ 为临界 Hardy 常数，即 Hardy 不等式 $|p|^{2s} \geq C_s/|x|^{2s}$ 中的最优常数。若忽略自旋，文献中此类结果被称为 Hardy-Lieb-Thirring 不等式，其将负本征值之和从下方界定为 $-M_s\int V_{-}^{1 + 3/(2s)}$，其中 $M_s$ 为正常数。此情形下磁场的引入可由抗磁性从非磁情形推出。然而，自旋的加入带来了额外挑战，使结果更难以捉摸。本文旨在通过给出该算符负本征值之和的简单界限来解决此问题。特别地，对于 $1/2 \leq s \leq 1$，我们能够将界限纯粹用磁场能量 $\|B\|_2^2$ 和 $V$ 的负部的幂积分表示。