均值 Hardy 性质的弱化

本文旨在寻找定义在子区间 $I \subset [0,+\infty)$ 上的一大类均值 $\mathscr{M}$，使得对所有 $a \in \ell_1(I)$ 均有 $$\sum_{n=1}^\infty \mathscr{M}(a_1,\dots,a_n) <+\infty \quad\text{ 且 }\quad a \in \ell_1(I).$$ 等价地，平均算子 $$(a_1,\,a_2,a_3\,,\dots) \mapsto \big( a_1,\,\mathscr{M}(a_1,a_2),\,\mathscr{M}(a_1,a_2,a_3), \dots\big)$$ 是 $\ell_1(I)$ 到自身的映射。该性质与所谓的均值 Hardy 不等式（其额外要求该算子有界）密切相关。事实上我们证明，在 Gini 均值族与幂均值的 Gaussian 乘积中，这两性质等价。此外，研究表明对拟算术均值情形并非如此。