关于涉及上确界的迭代 Hardy 型算子的若干限制不等式及其应用

本文刻画了如下不等式\n\begin{equation*} \bigg( \int_0^{\infty} \bigg( \int_0^x \big[ T_{u,b}f^* (t)\big]^r\,dt\bigg)^{\frac{q}{r}} w(x)\,dx\bigg)^{\frac{1}{q}} \le C \, \bigg( \int_0^{\infty} \bigg( \int_0^x [f^* (\tau)]^p\,d\tau \bigg)^{\frac{m}{p}} v(x)\,dx \bigg)^{\frac{1}{m}} \end{equation*}\n在 $1 < m < p \le r < q < \infty$ 或 $1 < m \le r < \min\{p,q\} < \infty$ 时成立的条件，其中 $w$ 和 $v$ 是 $(0,\infty)$ 上的权函数。要求该不等式对定义于测度空间 $({\mathbb R}^n,dx)$ 上的所有可测函数以某个正常数 $C$ 成立。这里 $f^*$ 是定义在 ${\mathbb R}^n$ 上的可测函数 $f$ 的非增重排，$T_{u,b}$ 是涉及上确界的迭代 Hardy 型算子，对 $(0,\infty)$ 上的可测非负函数 $f$ 定义为 $$(T_{u,b} g)(t) : = \sup_{t \le \tau < \infty} \frac{u(\tau)}{B(\tau)} \int_0^{\tau} g(s)b(s)\,ds,\qquad t \in (0,\infty),$$ 其中 $u$ 和 $b$ 是 $(0,\infty)$ 上的两个权函数，使得 $u$ 在 $(0,\infty)$ 上连续，且函数 $B(t) : = \int_0^t b(s)\,ds$ 对每个 $t \in (0,\infty)$ 满足 $0 < B(t) < \infty$。在文末，作为所得结果的应用，我们计算了广义极大算子 $M_{\phi,\Lambda^{\alpha}(b)}$ 的范数，该算子对 $0 < \alpha < \infty$ 及函数 $b,\,\phi: (0,\infty) \rightarrow (0,\infty)$ 和 ${\mathbb R}^n$ 上所有可测函数 $f$ 定义为 \n\begin{equation*} M_{\phi,\Lambda^{\alpha}(b)}f(x) : = \sup_{Q \ni x} \frac{\|f \chi_Q\|_{\Lambda^{\alpha}(b)}}{\phi (|Q|)}, \qquad x \in {\mathbb R}^n, \end{equation*}\n从 ${\operatorname{G\Gamma}}(p_1,m_1,v)$ 到 ${\operatorname{G\Gamma}}(p_2,m_2,w)$ 的范数。这里 $\Lambda^{\alpha}(b)$ 和 ${\operatorname{G\Gamma}}(p,m,w)$ 分别是经典和广义 Lorentz 空间。