带核 Hardy 型算子的有界性：情形 $0<q<1\le p<\infty$ 的积分加权条件

设 $U:[0,\infty)^2 \to [0,\infty)$ 为满足以下条件的可测核：(i) $U(x,y)$ 关于 $x$ 非增、关于 $y$ 非减；(ii) 存在常数 $\theta>0$ 使得对所有 $0\le x<y<z<\infty$ 有 $U(x,z) \le \theta\left( U(x,y)+U(y,z) \right)$；(iii) 对所有 $y>0$ 有 $U(0,y)>0$。令 $0<q<1< p <\infty$。我们证明加权不等式 $$\left( \int_0^\infty \left( \int_0^t f(x)U(x,t) dx \right)^q w(t) dt \right)^\frac 1q \le C \left( \int_0^\infty f^p(t)v(t)dt \right)^\frac 1p$$ 对 $(0,\infty)$ 上所有非负可测函数 $f$ 成立，当且仅当 $$\left( \int_0^\infty \left( \int_t^\infty w(x)dx \right)^\frac{r}{p} w(t) \left( \int_0^t U^{p'}(z,t)v^{1-p'}(z) dy \right)^\frac{r}{p'} dt \right)^\frac 1r <\infty$$ 且 $$\left( \int_0^\infty \left( \int_t^\infty w(x) U^q(t,x) dx \right)^\frac{r}{p} w(t) \sup_{z\in(0,t)} U^q(z,t)\left( \int_0^z v^{1-p'}(s) ds \right)^\frac{r}{p'} dt \right)^\frac 1r <\infty,$$ 其中 $p':=\frac{p}{p-1}$ 且 $r:=\frac{pq}{p-q}$。文中还给出了 $p=1$ 情形以及该不等式对偶形式的类似条件。