$W^{s,p}(\Omega ; N)$ 中的稠密性

设 $\Omega$ 为 ${\mathbb R}^n$ 中的光滑有界区域, $0\textless{}s\textless{}\infty$ 且 $1\le p\textless{}\infty$。我们证明除 $1\le sp\textless{}2$ 且 $n\ge 2$ 外, $C^\infty(\overline\Omega\, ; {\mathbb S}^1)$ 在 $W^{s,p}(\Omega ; {\mathbb S}^1)$ 中稠密。主要工具是当 $s\textless{}1$ 时针对 $W^{s,p}$-映射的一种新逼近方法。在 $0\textless{}s\textless{}1$、 $1\le p\textless{}\infty$ 且 $sp\textless{}n$、 $\Omega$ 为球、 $N$ 为一般紧连通流形时,我们证明 $C^\infty(\overline\Omega \, ; N)$ 在 $W^{s,p}(\Omega \, ; N)$ 中稠密当且仅当 $\pi_{[sp]}(N)=0$。这补充了Bethuel在 $s=1$ 时以及Bousquet、Ponce和Van Schaftingen在 $s=2,3,\ldots$ 时得到的类似结果 [一般区域 $\Omega$ 在 $s=1$ 时已由Hang和Lin处理;我们的方法可将他们的结果推广到 $s\textless{}1$。] $s\textgreater{}1$ 且 $s\not\in{\mathbb N}$ 的情形仍待解决。