带边界的完整黎曼流形中的 Neumann 切割与本征自伴性

我们推广了一些仅要求完备性且不要求曲率假设的非紧致无边界黎曼流形的基本结果到带边界的流形上：设 $M$ 为带边界 $\partial M$ 的光滑黎曼流形，记 $\hat{C}^\infty_c(M)$ 为消除法向导数的光滑紧支撑切割函数空间（即 Neumann 切割）。我们证明了，在完备条件下：- $\hat{C}^\infty_c(M)$ 在 $W^{1,p}(\mathring{M})$ 中稠密，对所有 $p\in (1,\infty)$ 成立；这推广了 Aubin[2] 对 $\partial M=\emptyset$ 的经典结果。- $M$ 接受一序列第一阶切割函数，落在 $\hat{C}^\infty_c(M)$ 中；对于 $\partial M=\emptyset$，此结果可追溯至 Gaffney[7]。- 以 $\hat{C}^\infty_c(M)$ 为定义域的拉普拉斯-贝尔特拉米算子是本征自伴的；这是对 $\partial M=\emptyset$ 情况下经典结果 Strichartz[20] 的推广。