子流形的割迹：几何与拓扑视角

对连通黎曼流形 $M$ 中每个闭嵌入子流形 $N$，都伴随有距离函数 $d_N$，它度量 $M$ 中一点到 $N$ 的距离。我们分析该函数的平方，并证明在 $N$ 的割迹 $\mathrm{Cu}(N)$ 的补集上它是 Morse-Bott 的，只要 $M$ 是完备的。此外，梯度流线提供了 $M-\mathrm{Cu}(N)$ 到 $N$ 的形变收缩。若 $M$ 是闭流形，则我们证明 $N$ 的法丛的 Thom 空间同胚于 $M/\mathrm{Cu}(N)$。我们还讨论了若干有趣的结果，它们或是这些的应用，或是关于割迹理论的相关观察。这些结果包括但不限于：奇异矩阵的局部同调的计算、球面内同调球面的割迹的同伦型分类、不定酉群 $U(p,q)$ 到 $U(p)\times U(q)$ 的形变，以及 $GL(n,\mathbb{R} )$ 到 $O(n,\mathbb{R} )$ 的异于 Gram-Schmidt 收缩的几何形变。\bigskip \noindent 若紧李群 $G$ 自由作用于黎曼流形 $M$，则 $M/G$ 是流形。此外，若作用是等距的，则 $M$ 的度量在 $M/G$ 上诱导一个度量。我们证明若 $N$ 是 $M$ 的 $G$-不变子流形，则割迹 $\mathrm{Cu}(N)$ 是 $G$-不变的，且 $\mathrm{Cu}(N)/G = \mathrm{Cu}\left( N/G \right)$ 在 $M/G$ 中。给出了该结果在复射影超曲面上的一个应用。