具有离散等距余紧群作用的单连通流形的极限

我们研究满足 Ricci 曲率下界条件的完备、连通且单连通的 $n$ 维黎曼流形 $M$。进一步，假设 $M$ 容许离散等距群作用 $G$，使得商空间直径 $\mathrm{diam}(M/G)$ 有界。特别地，对任意满足 $\mathrm{diam}(N) \le D$ 且 $\mathrm{Ric} \ge -(n-1)$ 的 $n$ 维流形 $N$，其通用覆盖与基本群 $(\widetilde{N},G)$ 满足上述条件。令 $\{(M_i,p_i)\}_{i \in \mathbb{N}}$ 为一列满足 $\mathrm{Ric} \ge -(n-1)$ 的完备、连通且单连通 $n$ 维黎曼流形。设 $G_i$ 为 $\mathrm{Iso}(M_i)$ 的离散子群，使得 $\mathrm{diam}(M_i/G_i) \le D$，其中 $D>0$ 固定。取子列后，$(M_i, p_i,G_i)$ 等变 pointed-Gromov-Hausdorff 收敛到 $(X,p,G)$。由 Cheeger-Colding 与 Colding-Naber 知 $G$ 为李群。我们将证明单位连通分支 $G_0$ 为幂零李群。因此在 $G$ 中存在极大环面 $T^k$。我们的主要结果是 $X/T^k$ 是单连通的。而且，$\pi_1(X,p)$ 由含于 $T^k$-轨道中的环路经共轭生成；这些环路中的每一个可表示为 $\alpha^{-1} \cdot \beta \cdot \alpha$，其中 $\alpha$ 是从某 $y \in X$ 到 $p$ 的曲线，$\beta$ 是 $y$ 处含于 $y$ 的 $T^k$-轨道中的环路。