$G$-流形的基本群

设$G$为连通紧李群，$M$为具有等变矩映射$\phi$的连通Hamiltonian $G$-流形。我们证明：若存在单连通轨道$G\cdot x$，则$\pi_1(M)\cong\pi_1(M/G)$；若此外$\phi$是真映射，则$\pi_1(M)\cong\pi_1(\phi^{-1}(G\cdot a))$，其中$a=\phi(x)$。我们还证明：若$G$的极大环面有不动点$x$，则$\pi_1(M)\cong\pi_1(M/K)$，其中$K$是$G$的任意连通子群；若此外$\phi$是真映射，则$\pi_1(M)\cong\pi_1(\phi^{-1}(G\cdot a))\cong\pi_1(\phi^{-1}(a))$，其中$a=\phi(x)$。进一步，我们证明：若$\phi$是真映射，则对所有$a\in\phi(M)$，有$\pi_1\big(M/\Gh\big)\cong\pi_1\big(\phi^{-1}(G\cdot a)/\Gh\big)$，其中$\Gh$是$G$的任意连通子群，且包含每个稳定子群的单位分支。特别地，对所有$a\in\phi(M)$，有$\pi_1(M/G)\cong\pi_1(\phi^{-1}(G\cdot a)/G)$。