极大环面的局部发散轨道与整点处的形式值

设 $\G$ 为定义在数域 $K$ 上的半单代数群，$\te$ 为 $\G$ 的极大 $K$-分裂环面，$\mathcal{S}$ 为包含阿基米德赋值的 $K$ 的有限赋值集，$\OO$ 为 $K$ 的 $\mathcal{S}$-整数环，$K_\mathcal{S}$ 为完备化 $K_v (v \in \mathcal{S})$ 的直积。记 $G = \G(K_\mathcal{S})$，$T = \te(K_\mathcal{S})$ 且 $\Gamma = \G(\OO)$。设 $T\pi(g)$ 为 $T$ 通过左平移作用于 $G/\Gamma$ 的局部发散轨道。我们证明：(1) 若 $\# S = 2$，则闭包 $\overline{T\pi(g)}$ 是有限多个 $T$-轨道的并集，所有这些轨道均按 $\G \times \G$ 的抛物子群进行分层，因此仅当 ${T\pi(g)}$ 为闭集时 $\overline{T\pi(g)}$ 才是齐次的；(2) 若 $\# \mathcal{S} > 2$ 且 $K$ 不是 $\mathrm{CM}$-域，则 $\overline{T\pi(g)}$ 被夹在两个具有相等半单秩的约化群的闭轨道之间，这意味着当 $\G = \mathbf{SL}_{n}$ 时 $\overline{T\pi(g)}$ 是齐次的。作为一个应用，若 $f = (f_v)_{v \in \mathcal{S}} \in K_{\mathcal{S}}[x_1, \cdots, x_{n}]$，其中 $f_v$ 是在 $K$ 上非两两成比例的可在 $K$ 上分解的齐次形式，则 $f(\OO^{n})$ 在 $K_{\mathcal{S}}$ 中稠密。