对称对在双重旗簇上的轨道

设 $G$ 为复数域上的连通、单连通半单代数群，$K$ 为 $G$ 的对合自同构的不动点子群，使得 $(G, K)$ 构成一个对称对。我们分别选取 $G$ 的抛物子群 $P$ 和 $K$ 的抛物子群 $Q$，并考虑具有对角 $K$-作用的偏旗簇 $G/P$ 与 $K/Q$ 的乘积，称之为\emph{对称对的双重旗簇}。若其上的 $K$-轨道仅有有限个，则称其为\emph{有限型}。在本文中，我们在不假设轨道有限性的前提下，利用未幂零群的商空间给出了 $G/P \times K/Q$ 上 $K$-轨道的参数化。若 $P \subset G$ 或 $Q \subset K$ 之一为 Borel 子群，则轨道的有限性与球作用密切相关。在此类情形下，我们给出了有限型双重旗簇的完整分类，即获得了 $K$-球旗簇 $G/P$ 和 $G$-球齐性空间 $G/Q$ 的分类。