对称偶的双旗簇与轨道的有限性

设 $G$ 是复数域上的约化代数群，$K = G^{\theta}$ 是 $G$ 的一个对合自同构 $\theta$ 的不动点集，从而 $(G, K)$ 构成一个对称偶。我们取 $G$ 和 $K$ 的抛物子群 $P$ 和 $Q$，并考虑部分旗簇 $G/P$ 和 $K/Q$ 的乘积，其上具有对角 $K$ 作用。这样得到的双旗簇 $G/P \times K/Q$ 被称为有限型的，如果其上仅有有限条 $K$ 轨道。三重旗簇 $G/P^1 \times G/P^2 \times G/P^3$ 是双旗簇的一个特例，关于三重旗簇已有许多有趣的工作。本文研究有限型双旗簇 $G/P \times K/Q$。我们给出了判断双旗簇是否为有限型的有效准则。轨道的有限性与 $G$ 或 $K$ 的球面作用密切相关。例如，我们证明：如果部分旗簇的乘积 $G/P \times G/\theta(P)$ 是 $G$-球面的，则部分旗簇 $G/P$ 是 $K$-球面的。我们还给出了许多有限型双旗簇的例子，并且对于 AIII 型，当 $P = B$ 是 $G$ 的 Borel 子群时，给出了分类。