Hausdorff 距离与 Gromov-Hausdorff 距离之比较

设 $M$ 为闭 Riemannian 流形，$X\subseteq M$。若样本 $X$ 相对于 $M$ 的曲率足够稠密，则 $X$ 与 $M$ 的 Gromov-Hausdorff 距离以其 Hausdorff 距离的一半为下界，即 $d_{GH}(X,M) \ge \frac{1}{2} d_H(X,M)$。常数 $\frac{1}{2}$ 可随流形 $M$ 的维数与曲率改进，并在单位圆情形取得最优值 $1$，意指若 $X\subseteq S^1$ 满足 $d_{GH}(X,S^1)<\tfrac{\pi}{6}$，则 $d_{GH}(X,S^1)=d_H(X,S^1)$。我们还给出了对两个子集 $X,Y\subseteq M$ 之间 Gromov-Hausdorff 距离 $d_{GH}(X,Y)$ 的下界版本。我们的证明将度量空间间的不连续函数转化为 \v{C}ech 或 Vietoris-Rips 复形间的单纯映射。随后利用神经引理与流形的基本类产生某些映射存在的拓扑阻碍，从而给出 Gromov-Hausdorff 距离的下界。