从单连通测地空间到圆周的 Gromov-Hausdorff 距离

我们证明，带有测地度量的圆周到任意单连通测地空间的 Gromov-Hausdorff 距离不小于 $\frac{\pi}{4}$。我们还通过构造一个达到下界 $\frac{\pi}{4}$ 的单连通测地空间 $\mathrm{E}$ 证明了该界是紧的。我们从一个我们也建立的一般性结果推导出第一个结论，该结果给出了两个测地度量空间 $(X, d_X)$ 和 $(Y, d_Y )$ 之间的 Gromov-Hausdorff 距离必须多小才能使 $\pi_1(X)$ 和 $\pi_1(Y)$ 同构的条件。