Gromov-Hausdorff 距离、Borsuk-Ulam 定理与 Vietoris-Rips 复形

我们探索 Gromov--Hausdorff 距离、Borsuk--Ulam 定理与 Vietoris--Rips 单纯复形之间新兴的关系。两个度量空间 $X$ 与 $Y$ 之间的 Gromov--Hausdorff 距离可由它们之间的（可能不连续的）函数的畸变下界界定。这些函数对度量的畸变越大，Gromov--Hausdorff 距离必然越大。拓扑学中阻碍不连续函数存在的工具很少。然而，任意函数 $f\colon X\to Y$ 会诱导出它们的 Vietoris--Rips 单纯复形之间的连续映射，其中尺度参数的可选范围取决于函数 $f$ 对距离的畸变程度。我们随后可利用等变拓扑来阻碍 Vietoris--Rips 复形之间某些连续映射的存在。借助这些思想，我们界定了当 $k>n$ 时球面之间奇映射 $S^k\to S^n$ 必须的不连续程度，推广了 Dubins 与 Schwarz (1981) 的结果（即 $k=n+1$ 的情形）。作为一个应用，我们恢复或改进了 Lim、Mémoli 与 Smith (2022) 关于不同维数球面之间 Gromov--Hausdorff 距离的所有下界。我们还给出了相邻维数球面之间 Gromov--Hausdorff 距离的新上界。