商度量空间之间的Gromov-Hausdorff距离

Hausdorff距离度量两个集合在公共度量空间中的相距程度。相比之下，Gromov-Hausdorff距离提供了两个抽象度量空间之间距离的概念。这些距离在群作用下的空间商中如何表现？假设一个群$G$通过等距作用在两个度量空间$X$和$Y$上。在本文中，我们研究了$X$和$Y$与其商空间$X/G$和$Y/G$之间的Hausdorff和Gromov-Hausdorff距离之间的关系。对于Hausdorff距离，我们证明如果$X$和$Y$是公共度量空间中的$G$-不变子集，那么我们有$d_{\mathrm{H}}(X,Y)=d_{\mathrm{H}}(X/G,Y/G)$。然而，Gromov-Hausdorff距离并不保持这种关系：我们展示了如何使比率$\frac{d_{\mathrm{GH}}(X/G,Y/G)}{d_{\mathrm{GH}}(X,Y)}$既可以任意大也可以任意小，即使$X$是$Y$的任意稠密的$G$-不变子集。